Всего: 32 1–20 | 21–32
Добавить в вариант
и 
Тогда углы BMA, MAD и AMB равны, поэтому треугольник ABM — равнобедренный. Следовательно, 
Периметр равен 56. Аналогично для случая 
Периметр равен 70.
а второго 
их сумма равна единице. Тогда 
, откуда 
Сторона BC правильного треугольника ABC разделена на 2016 равных частей точками A1, . . . , A2015, стороны AC и AB — точками B1, . . . , B2015 и C1, . . . , C2015. Треугольник AiBjCk называется красным, если содержит центр ABC, и синим иначе. Каких треугольников больше, красных или синих?
от общего числа, то мы докажем, что всего синих больше, чем красных.
(тогда на каждой стороне n точек, всего n3 треугольников; каждая сторона разделена на 6l равных частей). Тогда нам надо доказать, что из 
пар (Bj, Ck) более 
) удовлетворяет условию.
имеет вид:
в точках (0, 0) и (1/3, 1/3) должна быть одного знака, то есть отрицательна, то есть 
Таким образом, нам нужно показать, что строго внутри области с синей границей лежит не менее шестой части точек вида
синих точек. Внутри треугольника с вершинами (2/3, 2/3), (1, 1/2), (1, 2/3), исключая вершину и точки прямой 
остаётся 
точки. Суммарно получаем 
точки, что меньше 
однако ещё есть точки строго внутри жёлтых областей, которых нам достаточно найти ещё хотя бы 2 штуки. Или в одной области хотя бы две точки. Возьмём тогда в левой жёлтой области точки 
и 
(2016 делится на 24, так что эти точки нам подходят).
целых точек границы многоугольника. Тогда вычисление площади по формуле Пика даёт равенство
Квадратное уравнение имеет корни 
Но 2016 > 24 (поэтому 
), поэтому неравенство выполнено.Через вершины треугольника ABC проведены три параллельные прямые a, b, c соответственно, не параллельные сторонам треугольника. Пусть A0, B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения пар прямых a и B0C0, b и C0A0, c и A0B0 соответственно. Докажите, что прямые A0A1, B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке.
Обозначим 
где знак плюс берётся, если r и s расположены в одной паре вертикальных углов относительно p и q, а знак минус — иначе.
равно двойному отношению прямых (a, p; c', b'). Аналогично 
и 
равны двойным отношениям (b, q; a', c') и (c, r; b', a'). Но из параллельности
Известно, что при перестановке прямых c' и b' двойное отношение x заменяется на 
а при перестановке прямых a' и b' — на 1 − x. Значит, 
и 
Получаем 
Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AH ⊥ PQ тогда и только тогда, когда точки P, Q, M, N лежат на одной окружности.
поскольку BD – биссектриса треугольника ABP, она делит AP в отношении боковых сторон, то есть 
и 
Аналогично 
и 
Таким образом, т. Чевы гласит:
мы позволим себе вольность записывать это соотношение как 
поскольку все переменные положительны из картинки. 
что равносильно 
(для прямоугольных треугольников APR и AQR с общим катетом разность квадратов других катетов равна разности квадратов гипотенуз). Обратное тоже верно: запишем теорему косинусов для треугольников APR и AQR и вычтем равенства. Имеем:
как выразить y2 − z2 через a, b? Очевидно 
Подставив a2 и b из первого и второго уравнения системы соответственно,
после преобразований получаем 
– то есть то же, что и в левой системе, с точностью до домножения на константу. Итак, системы действительно равносильны – задача решена. 
в более геометрических терминах: когда PQ виден из точки A под углом 45°.
Из точки Q опущены перпендикуляры QM и QK на стороны AB и BC соответственно. При этом 
Найдите 
и 
то треугольник M1BK1 подобен треугольнику MBK с коэффициентом подобия 2 (их общий угол лежит между пропорциональными сторонами). Хорошо известно, что треугольник, образованный двумя основаниями высот и вершиной, подобен исходному, а именно: треугольник M1BK1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 
Значит, 
и тогда 
Подставив найденное значение в (1), получаем ответ.
На высоте BH треугольника ABC отмечена некоторая точка D. Прямая AD пересекает сторону BC в точке E, прямая CD пересекает сторону AB в точке F. Точки G и J являются проекциями соответственно точек F и E на сторону AC. Площадь треугольника HEJ вдвое больше площади треугольник HFG. В каком отношении высота BH делит отрезок FE?
Тогда 
откуда
считая от точки E. 
и 
где K — точка пересечения BH и FE. Заметим, что 
откуда вытекает подобие прямоугольных треугольников HEJ и HFG. В силу теоремы Фалеса 
На стороне AB треугольника ABC выбрана такая точка P, что 3AP = AB. В треугольниках APC и BPC проведены биссектрисы PK и PL соответственно, а в треугольниках APK и BPL опущены высоты AQ и BR. В каком отношении прямая CP делит
Поскольку 
(нумерация совпадает с расположением точек на прямой). Рассмотри все части плоскости, которые образовывались до проведения новой прямой. Если часть содержит интервал 
то и частей станет 
прямой у нас будут образовываться параллельные прямые: 
— пересечет 
если 
и 
и 
то 
и 
Найдите 
Заметим, что 
В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы BC, а точки P и T делят катеты AB и AC в отношении
Обозначим за К точку пересечения отрезков ВТ и РM, за E — точку пересечения отрезков СР и МТ, и за О — точку пересечения отрезков СР и ВТ. Доказать, что четырёхугольник ОКME — вписанный.
Треугольник AMC равнобедренный, поэтому треугольники МАТ и MCH равны по одноимённым углам и прилежащим к ним сторонам. Отсюда, в частности, следует равенство углов АMТ и СМН. По обратной теореме Фалеса, ВТ и МН параллельны, поэтому угол СВТ равен углу СMH и углу АMT.
Выразим длины этих отрезков через длину ВТ. 
Треугольник ТМН равнобедренный, следовательно, 
следовательно, 
следовательно, 
следовательно, 
откуда по индукции несложно получить ответ.
б) 
На стороне АС равностороннего треугольника АВС как на диаметре во внешнюю сторону построен полукруг, разделенный точками Р и Q на три равных дуги. Докажите, что точки пересечения M и N стороны АС с отрезками ВР и ВQ соответственно делят АС на три одинаковых отрезка.
Углы ОАР и ОСB равны 60 градусам, поэтому отрезки АP и ВС параллельны, следовательно, четырёхугольник АРCB — трапеция и треугольники AMP и ВМС подобны с коэффициентом 
длины AC. Аналогично и длина CN равна 
Следовательно, точка М делит отрезок НО в отношении 
поэтому длина НM равна трети от НО, то есть 1. Значит, длина АM равна сумме длин 
и 
то есть 4. Аналогично 
значит, и 
что и требовалось доказать.
3 балла.Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD такая, что AB + CD = AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая, параллельная основаниям трапеции и проходящая через точку O, пересекает боковую сторону AD в точке K. Докажите, что 
и 
она существует, так как 
Из этого равенства следует, что 
так же равно 
в силу подобия треугольников AOB и COD. Из равенства
и 
Кроме того, из параллельности прямых AB, OK и CD следует, что 
и 
Отсюда следует, что развернутый угол AKD равен 
Поэтому 
Окружность ω с центром в точке I вписана в выпуклый четырехугольник ABCD и касается стороны AB в точке M, и стороны CD — в точке N, при этом 
На прямой MN выбрана точка 
такая, что AK = AM. В каком отношении прямая DI может делить отрезок KN? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Тогда треугольник PMN равнобедренный, а значит, 
и, следовательно, 
или смежных с ними — 1 балла.